Question

【題目】（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心；

（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；

（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點. 連結“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實數，使斜率為的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析；（3）存在，

【解析】

（1）根據點差法可求出平行弦的中點的軌跡方程為，顯然直線經過橢圓中心原點；

（2）由（1）知，平行弦的中點軌跡必過橢圓中心，所以作出兩組平行弦的中點軌跡所在直線，兩條直線的交點即為橢圓的中心；

（3）由（1）的結論可知，．設出直線和弦的中點坐標，即可求得中點所在的軌跡方程為橢圓方程．當或時，平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．

（1）證明：設斜率為的直線與橢圓交于點兩點，．

中點坐標為，所以 ，

所以，，作差得，，

即有，即，再根據中點在橢圓內部，所以，即

，解得．

故平行弦的中點的軌跡方程為，，

所以橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡過橢圓中心．

（2）如圖所示，點即為橢圓中心．

（3）由（1）的結論可知，．

設交“果圓”于兩點，中點為，則，，則，即．

易證，

當或時，“果圓”的平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．

所以，當時，“果圓”的平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．