Question

5．設正實數x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則當$\frac{z}{xy}$取得最小值時，x+2y-z的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 2
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 正實數x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，可得z=x²-3xy+4y²，$\frac{z}{xy}$=$\frac{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3，再利用基本不等式的性質與二次函數的單調性即可得出．

解答 解：∵正實數x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，∴z=x²-3xy+4y²，
∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$-3=1，當且僅當x=2y＞0，z=2y²＞0時取等號．
∴x+2y-z=4y-2y²=-2（y-1）²+2≤2，y=1，x=2，z=2時取等號．
∴x+2y-z的最大值為2．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質、配方方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．