Question

13．已知如圖正四面體SABC的側面積為$48\sqrt{3}$，O為底面正三角形ABC的中心．
（1）求證：SA⊥BC；
（2）求點O到側面SABC的距離．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點D，由等腰三角形的性質可得AD⊥BC，SD⊥BC，結合線面垂直的判定可得BC⊥平面SAD，進一步得到SA⊥BC；
（2）由（1）可知BC⊥平面SAD，過點O作OE⊥SD，得到OE⊥平面SBC，即OE就是點O到側面SBC的距離．由題意可知點O在AD上，設正四面體SABC的棱長為a，利用等積法求得a，在等邊三角形ABC中，D是BC的中點，求解直角三角形可得點O到側面SBC的距離．

解答 （1）證明：取BC的中點D，連結AD，SD，
∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∵△SBC是等邊三角形，D是BC的中點，
∴SD⊥BC，
∵AD∩SD=D，AD，SD?平面SAD，
∴BC⊥平面SAD，
∵SA?平面SAD，
∴SA⊥BC；
（2）解：由（1）可知BC⊥平面SAD，
∵BC?平面SBC，
∴平面SAD⊥平面SBC，
∵平面SAD∩平面SBC=SD，過點O作OE⊥SD，則OE⊥平面SBC，
∴OE就是點O到側面SBC的距離．
由題意可知點O在AD上，設正四面體SABC的棱長為a，
∴${S}_{△SBC}=\frac{1}{2}SB•SC•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∵正四面體SABC的側面積為$48\sqrt{3}$，
∴$3{S_{△SBC}}=3×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}=48\sqrt{3}$，得a=8．
在等邊三角形ABC中，D是BC的中點，
∴$AD=AC•sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$．
同理可得$SD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$．
∵O為底面正三角形ABC的中心，
∴$AO=\frac{2}{3}AD=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，$OD=\frac{1}{3}AD=\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，
∴在Rt△SAO中，$SO=\sqrt{S{A^2}-A{O^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，
由$\frac{1}{2}OD•SO=\frac{1}{2}SD•OE$，
得：$\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{6}a×\frac{{\sqrt{6}}}{3}a=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a•OE$，
∴$OE=\frac{{\sqrt{6}}}{9}a=\frac{{8\sqrt{6}}}{9}$，即點O到側面SBC的距離為$\frac{{8\sqrt{6}}}{9}$．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關系，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．