【題目】已知函數(
),若不等式
對任意實數
恒成立,則實數
的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
根據題意,分析可得函數f(x)為奇函數且為增函數,進而可以將原問題轉化為m對任意實數t≥1恒成立,由基本不等式的性質分析可得
有最小值
,進而分析可得m的取值范圍.
根據題意,函數f(x)=x3+3x,其定義域為R,關于原點對稱,
有f(﹣x)=﹣(x3+3x)=﹣f(x),則f(x)為奇函數,
又由f′(x)=3x2+3>0,則f(x)為增函數,
若不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0對任意實數t≥1恒成立,
則f(2m+mt2)<﹣f(4t),即2m+mt2<﹣4t對任意實數t≥1恒成立,
2m+mt2<﹣4tm,即m
,
又由t≥1,則t2
,則
有最小值
,當且僅當
時等號成立
若m對任意實數t≥1恒成立,必有m
;
即m的取值范圍為(﹣∞,);
故選:D.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標系中,將曲線向左平移2個單位,再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變,縱坐標縮短為原來的
,得到曲線
,以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,
的極坐標方程為
.
(1)求曲線的參數方程;
(2)已知點在第一象限,四邊形
是曲線
的內接矩形,求內接矩形
周長的最大值,并求周長最大時點
的坐標.
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【題目】古希臘時期,人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(
≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是
.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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【題目】已知拋物線上兩點
、
,焦點
滿足
,線段
的垂直平分線過
.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點作直線
,使得拋物線
上恰有三個點到直線
的距離都為
,求直線
的方程.
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【題目】某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產情況,隨機調查了100個企業,得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表.
| |||||
企業數 | 2 | 24 | 53 | 14 | 7 |
(1)分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例、產值負增長的企業比例;
(2)求這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表).(精確到0.01)
附:.
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【題目】已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當直線l被圓C截得的弦長為時,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過點(3,5)并與圓C相切的切線方程.
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【題目】已知圓C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直線l:x﹣y+3=0.當直線l被圓C截得的弦長為時,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求過點(3,5)并與圓C相切的切線方程.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)求二面角P﹣AB﹣D的大小.
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【題目】男運動員名,女運動員
名,其中男女隊長各
人,選派
人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.
(1)任選人
(2)男運動員名,女運動員
名
(3)至少有名女運動員
(4)隊長至少有一人參加
(5)既要有隊長,又要有女運動員
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