Question

【題目】已知拋物線上兩點(diǎn)、，焦點(diǎn)滿足，線段的垂直平分線過.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線，使得拋物線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，結(jié)合拋物線的定義得出，再由中垂線的性質(zhì)得出，利用兩點(diǎn)間的距離公式得出，可求出實(shí)數(shù)的值，由此可得出拋物線的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，將直線平移且使得平移后的直線與直線之間的距離等于，可得出直線，，可知直線或與拋物線相切，并與拋物線的方程聯(lián)立，利用求出實(shí)數(shù)的值，即可得出直線的方程.

（1）由拋物線的定義可得，①

由于線段的垂直平分線過，則，

即，即，

，，

，，②

由①②得，因此，拋物線的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，將直線平移且使得平移后的直線與直線之間的距離等于，設(shè)平移后的直線方程為，由平行線間的距離公式可得，

得，得直線，，

可知直線或與拋物線相切，

若直線與拋物線相切，則，得，

，此方程無解；

若直線與拋物線相切，則，得，

，得，解得，

因此，直線的方程為或.