Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）求二面角P﹣AB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 45°．

【解析】

（1）通過證明AB⊥平面PAD得出面面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求二面角的大小.

證明：（1）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，AB⊥AD，

PD⊥底面ABCD，平面ABCD，

∴AB⊥PD，又AD∩PD＝D，∴AB⊥平面PAD，

∵AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（2）由（1）AB⊥平面PAD，所以CD⊥平面PAD，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PD＝DC＝DP＝2，則A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），

（﹣2，0，2），（0，2，0），

設平面PAB的法向量（x，y，z），

則，

取x＝1，得（1，0，1），平面ABD的法向量（0，0，1），

設二面角P﹣AB﹣D的大小為θ，則cosθ，θ＝45°，

∴二面角P﹣AB﹣D的大小為45°．