【題目】已知函數,m∈R
(1)討論f(x)的單調性;
(2)若m∈(-1,0),證明:對任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)求函數的導數,結合函數單調性和導數之間的關系進行判斷即可.
(2)將不等式進行轉化,構造函數g(x)=-x+
,則不等式轉化為最值問題進行求解即可.
解:(1)
①當1>1-m,即m>0時,(-∞,1-m)和(1,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調減;(1-m,1)上f′(x)>0,f(x)單調增
②當1=1-m,即m=0時,(-∞,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調減
③當1<1-m,即m<0時,(-∞,1)和(1-m,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調減;(1,1-m)上f′(x)>0,f(x)單調增
(2)對任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5可轉化為,
設g(x)=-x+
,則問題等價于x1,x2∈[1,1-m],f(x)max<g(x)min
由(1)知,當m∈(-1,0)時,f(x)在[1,1-m]上單調遞增,,
g(x)在[1,1-m]上單調遞減,,
即證,化簡得4(2-m)<e1-m[5-(1-m)]
令1-m=t,t∈(1,2)
設h(t)=et(5-t)-4(t+1),t∈(1,2),
h′(t)=et(4-t)-4>2et-4>0,故h(t)在(1,2)上單調遞增.
∴h(t)>h(1)=4e-8>0,即4(2-m)<e1-m[5-(1-m)]
故,得證.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(1)把本不同的書分給
位學生,每人至少一本,有多少種方法?
(2)由這
個數字組成沒有重復數字的四位偶數由多少個?
(3)某旅行社有導游人,其中
人只會英語,
人只會日語,其余
人既會英語,也會日語,現從中選
人,其中
人進行英語導游,另外
人進行日語導游,則不同的選擇方法有多少種?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知
,若直線
于點
,點
是直線
上的一動點,
是線段
的中點,且
,設點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點作直線
交
于點
,交
軸于點
,過
作直線
,
交
于點
.試判斷
是否為定值?若是,求出其定值;若不是,請說明理由
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,
是橢圓
上的兩個不同點.
(1)若,且點
所在直線方程為
,求
的值;
(2)若直線的斜率之積為
,線段
上有一點
滿足
,連接
并廷長交橢圓
于點
,求
的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校為了推動數學教學方法的改革,學校將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班,每班各人,甲班按原有模式教學,乙班實施教學方法改革,經過一年的教學,將甲、乙兩個班學生一年來的數學成績取整數,繪制成如下莖葉圖,規定不低于
分(百分制)為優秀,甲班同學成績的中位數為
.
(1)求的值和乙班同學成績的眾數;
(2)完成表格,若有以上的把握認為“數學成績優秀與教學改革有關”的話,那么學校將擴大教學改革面,請問學校是否要擴大教學改革面?說明理由.
甲班 | 乙班 | 合計 | |
優秀人數 | |||
不優秀人數 | |||
合計 |
附:,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | ||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】“搜索指數”是網民通過搜索引擎,以每天搜索關鍵詞的次數為基礎所得到的統計指標.“搜索指數”越大,表示網民對該關鍵詞的搜索次數越多,對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.下圖是2017年9月到2018年2月這半年中,某個關鍵詞的搜索指數變化的走勢圖.
根據該走勢圖,下列結論正確的是( )
A. 這半年中,網民對該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化
B. 這半年中,網民對該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱
C. 從網民對該關鍵詞的搜索指數來看,去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 從網民對該關鍵詞的搜索指數來看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】程大位《算法統宗》里有詩云“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏.次第每人多十七,要將第八數來言.務要分明依次弟,孝和休惹外人傳.”意為:996斤棉花,分別贈送給8個子女做旅費,從第一個開始,以后每人依次多17斤,直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明,使孝順子女的美德外傳,則第八個孩子分得斤數為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學學生參加數學競賽培訓,在培訓期間他們參加5項預賽,成績如下:
甲:78 76 74 90 82
乙:90 70 75 85 80
(Ⅰ)用莖葉圖表示這兩組數據;
(Ⅱ)現要從中選派一人參加數學競賽,從平均數、方差的角度考慮,你認為選派哪位學生參加合適?說明理由.
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