Question

10．已知a＞0且滿足不等式2^2a+1＞2^5a-2．
（1）求實數a的取值范圍．
（2）求不等式log_a（2x-1）＜log_a（7-5x）．
（3）若函數y=log_a（2x-1）在區間[1，3]有最小值為-2，求實數a值．

Answer 1

分析 （1）根據指數函數的單調性解不等式即可求實數a的取值范圍．  
（2）根據對數函數的單調性求不等式log_a（3x+1）＜log_a（7-5x）．
（3）根據復合函數的單調性以及對數的性質即可求出a的值．

解答 解：（1）∵2^2a+1＞2^5a-2．
∴2a+1＞5a-2，即3a＜3，
∴a＜1．
（2）∵a＞0，a＜1，∴0＜a＜1，
∵log_a（2x-1）＜log_a（7-5x）．
∴等價為$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞0}\\{7-5x＞0}\\{2x-1＞7-5x}\end{array}\right.$，
∴$\frac{8}{7}$＜x＜$\frac{7}{5}$，
即不等式的解集為（$\frac{8}{7}$，$\frac{7}{5}$）．
（3）∵0＜a＜1，
∴函數y=log_a（2x-1）在區間[1，3]上為減函數，
∴當x=3時，y有最小值為-2，
即log_a5=-2=log_aa^-2，
∴a^-2=5，
解得a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查不等式的解法，利用指數函數和對數函數的單調性是解決本題的關鍵．