Question

10．函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，函數h（x）=xf（x）-ex的最小值為（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{e}$
• C． 0
• D． e

Answer 1

分析 由設t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，再求出jh（x），根據導數和函數的最值的關系即可求出．

解答 解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
∴f（x）-lnx為定值，
設t=f（x）-lnx，
∴f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
∴f（x）=lnx+e，
∴h（x）=xf（x）-ex=xlnx，
∴h′（x）=1+lnx，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
當h′（x）＞0時，即x＞$\frac{1}{e}$，函數h（x）單調遞增，
h′（x）＞0時，即0＜x＜$\frac{1}{e}$，函數h（x）單調遞減，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
故選：B．

點評 本題考查了導數的運算和函數的最值，關鍵是求出f（x），屬于中檔題