Question

18．已知函數f（x）=|2x-1|+|x+1|，g（x）=|x-a|+|x+a|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞9；
（Ⅱ）?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式f（x）＞9?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x+1-x-1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1+x+1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+1＞9}\end{array}\right.$，分別求解即可．
（Ⅱ）?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）?函數f（x）的值域是函數g（x）值域的子集，分別求出兩函數值域，根據子集的定義列式求解．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞9?
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x+1-x-1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1+x+1＞9}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1+x+1＞9}\end{array}\right.$，
即x＜-3或∈∅或x＞3，
∴原不等式解集為（3，+∞）∪（-∞，3）；
（Ⅱ）?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）?函數f（x）的值域是函數g（x）值域的子集，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，（x＜-1）}\\{-x+2，（-1≤x≤\frac{1}{2}）}\\{3x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，
當x＜-1時，-3x＞3；當-1≤x$≤\frac{1}{2}$時，$\frac{3}{2}≤$-x+2≤3；當x$＞\frac{1}{2}$時，3x$≥\frac{3}{2}$，
∴函數f（x）的值域是[$\frac{3}{2}，+∞$），
g（x）=|x-a|+|x+a|≥|2a|，
∴|2a|$≤\frac{3}{2}$，即-$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{4}$．
∴實數a的取值范圍為[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，恒成立與存在問題，考查了轉化思想，屬于中檔題．