Question

10．（1）求以橢圓$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{5}=1$的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線方程
（2）求此雙曲線方程的實半軸長，虛半軸長，離心率，漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）先求出雙曲線的頂點和焦點，從而得到橢圓的焦點和頂點，進而得到橢圓方程；
（2）利用雙曲線方程，可得性質．

解答 解：（1）橢圓 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{5}=1$的頂點為（-2$\sqrt{2}$，0）和（2$\sqrt{2}$，0），焦點為（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0）．
∴雙曲線的焦點坐標是（-2$\sqrt{2}$，0）和（2$\sqrt{2}$，0），頂點為（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0）．
∴雙曲線的a=$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{2}$⇒b=$\sqrt{5}$
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）此雙曲線方程的實半軸長為$\sqrt{3}$，虛半軸長為$\sqrt{5}$，離心率為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，漸近線方程y=±$\frac{\sqrt{15}}{3}$x．

點評 本題考查雙曲線和橢圓的性質和應用，解題時要注意區分雙曲線和橢圓的基本性質．