Question

已知△ABC的三邊a，b，c成等比數列，且a+c=

21

，

1

tanA

+

1

tanC

=

5

4

．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：等比數列的性質,余弦定理

專題：等差數列與等比數列,解三角形

分析：（Ⅰ）將已知等式左邊利用商的關系、兩角和的正弦公式關系化簡，再利用等比中項的性質及正弦定理化簡后，求出sinB的值，由平方關系求出cosB的值；
（Ⅱ）由余弦定理列出關系式，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值和三角形面積公式，求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）因為

1

tanA

+

1

tanC

=

5

4

，
所以

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

5

4

，
則

sin(C+A)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

5

4

，①
因為△ABC的三邊a，b，c成等比數列，
所以b²=ac，由正弦定理得sin²B=sinAsinC，②
由①②可得，sinB=

4

5

，
由b²=ac知，b不是最大邊，即B不是鈍角，
所以cosB=

1-sin2B

=

3

5

；
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
則ac=a²+c²-2ac•

3

5

=（a+c）²-

16

5

ac，
把a+c=

21

代入，解得ac=5，
所以S_△ABC=

1

2

acsinB=2．

點評：本題考查正弦、余弦定理，兩角和的正弦公式，同角三角函數間基本關系，三角形面積公式，以及整體代換求值，熟練掌握定理和公式是解本題的關鍵．