Question

16．已知命題p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的負根；命題q：不等式：4x²+4（m-2）x+1≥0恒成立．
（1）若命題p為真，求實數m的范圍．
（2）若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的負根為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}-4＞0\\{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0\end{array}\right.$，解得實數m的范圍．
（2）若p∨q為真，p∧q為假，則命題p，q一真一假，分類討論可得實數m的范圍．

解答 解：（1）若命題p：方程x²+mx+1=0有兩個不相等的負根為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}-4＞0\\{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0\end{array}\right.$，
解得：m＞2       
（2）若命題q：不等式：4x²+4（m-2）x+1≥0恒成立．
則△=16（m-2）²-16≤0，
解得：1≤m≤3，
若p∨q為真，p∧q為假，則命題p，q一真一假，
若p真q假，則m＞3，
若p假q真，則1≤m≤2，
綜上可得：1≤m≤2，或m＞3．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了方程根與系數的關系，不等式恒成立問題，復合命題等知識點，難度中檔．