Question

已知函數，（為常數）．

（1）函數的圖象在點處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；

（2）若，，、使得成立，求滿足上述條件的最大整數；

（3）當時，若對于區間內的任意兩個不相等的實數、，都有

成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導數求出函數在點的切線方程，并將切線方程與函數的方程聯立，利用求出的值；（2）將題中問題轉化為從而確定最大整數的值；（3）假設，考查函數和的單調性，從而將，得到，于是得到，然后構造函數

，轉化為函數在區間為單調遞增函數，于是得到在區間上恒成立，利用參變量分離法求出的取值范圍.

（1），，，

函數的圖象在點處的切線方程為，

直線與函數的圖象相切，由，消去得，

則，解得或；

（2）當時，，

，

當時，，在上單調遞減，

，，

則，

，故滿足條件的最大整數；

（3）不妨設，函數在區間上是增函數，，

函數圖象的對稱軸為，且，函數在區間上是減函數，

，

等價于，

即，

等價于在區間上是增函數，

等價于在區間上恒成立，

等價于在區間上恒成立，

，又，.

考點：1.導數的幾何意義；2.構造函數法；3.參變量分離法