Question

數(shù)列{}中，a₁=3，，
(1)求a₁、a₂、a₃、a₄；
(2)用合情推理猜測(cè)關(guān)于n的表達(dá)式(不用證明)；
(3)用合情推理猜測(cè){}是什么類型的數(shù)列并證明；
(4)求{}的前n項(xiàng)的和。

Answer 1

(1)3,10,27,68
(2) a_n-n=n2ⁿ
(3)=22^n-1，

試題分析：解：(1) a₁=3， a₂=a₁-1-1=10，a₃=a₂-2-1=27，
a₄=a₃-3-1=68        2分
(2)由(1)，a₁-1=2=12，a₂-2=8=22²，a₃-3=24=32³，a₄-4=64=42⁴，
猜測(cè)a_n-n=n2ⁿ，              4分
(3) 由(2)，a_n-n=n2ⁿ，=2ⁿ，因此可推測(cè){}是等比數(shù)列   5分證明如下：
 a_n+1=a_n-n-1， a_n+1-(n+1)= a_n-2(n+1)=2(n+1)(-1)，
=2, 而=20, {}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比
數(shù)列；               8分
(4)由(3)=22^n-1， a_n="n+" n 2ⁿ,            10分
{a_n}的前n項(xiàng)的和: S_n=+12+22²+32³+ +n2ⁿ。
記P=12+22²+32³+ +n2ⁿ，則2P-P= n2ⁿ⁺¹-(2+2²+2³+ +2ⁿ)= (n-1)2ⁿ⁺¹+2
 P=(n-1)2ⁿ⁺¹+2,  S_n=+(n-1)2ⁿ⁺¹+2.           13分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是能根據(jù)遞推關(guān)系來(lái)歸納猜想來(lái)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，進(jìn)而分析證明，屬于基礎(chǔ)題。