Question

5．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=$\sqrt{2}$．
（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（2）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；
（2）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．．

解答 解：（1）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，1），D（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
B（1，0，0），E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{BA}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值$\frac{\sqrt{2}}{4}$
（2）$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
設平面ADC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴點E到平面ACD的距離h=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$

點評 本小題主要考查異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．