Question

已知

e1

，

e2

是夾角為60°的單位向量，且

a

=2

e1

+

e2

，

b

=-3

e1

+2

e2

．
（1）求

a

•

b

；    
（2）求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得

a

•

b

=（2

e1

+

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）=-6

e1

2+

e1

•

e2

+2

e2

2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；
（2）由模長(zhǎng)公式可得|

a

|和|

b

|，由夾角公式可得．

解答： 解：（1）∵

e1

，

e2

是夾角為θ=60°的單位向量，
又∵

a

=2

e1

+

e2

，

b

=-3

e1

+2

e2

，
∴

a

•

b

=（2

e1

+

e2

）•（-3

e1

+2

e2

）
=-6

e1

2+

e1

•

e2

+2

e2

2
=-6×12+1×1×

1

2

+2×12=-

7

2

；
（2）由模長(zhǎng)公式可得|

a

|=

(2 e1 + e2 )2

=

4 e1 2+4 e1 • e2 + e2 2

=

4×12+4×1×1× 1 2 +12

=

7

同理可得|

b

|=

(-3 e1 +2 e2 )2

=

9×12-12×1×1× 1 2 +4×12

=

7

，
設(shè)

a

與

b

的夾角為α，則cosα=

a • b

| a || b |

=

- 7 2

7 • 7

=-

1

2

∴

a

與

b

的夾角為120⁰

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及向量數(shù)量積運(yùn)算和模長(zhǎng)公式，屬中檔題．