Question

函數f（x）=x²+ax+3，當x∈[1，+∞）時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由f（x）≥a分離參數a，然后構造函數g（x）=

-x2-3

x-1

（x＞1），由導數求得最大值后可得a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=x²+ax+3，則f（x）≥a化為x²+ax+3≥a，
即a（x-1）≥-x²-3，
當x=1時，對于任意實數a上式成立；
當a＞1時，由a（x-1）≥-x²-3，得a≥

-x2-3

x-1

，
令g（x）=

-x2-3

x-1

（x＞1），
g′(x)=

(-x2-3)′(x-1)-(-x2-3)(x-1)′

(x-1)2

=

-2x(x-1)-(-x2-3)

(x-1)2

=

-x2+2x+3

(x-1)2

=-

(x+1)(x-3)

(x-1)2

．
當x∈（1，3）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數；
當x∈（3，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數．
∴當x=3時函數g（x）有極大值，也是最大值，等于

-32-3

3-1

=-6．
∴a≥-6．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了分離變量法求函數的最值，訓練了利用導數求函數的最值，是中檔題．