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已知向量
a
，
b
，滿足|
a
|=1，|
b
|=1，|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，k＞0，
（1）用k表示
a
•
b
，并求
a
與
b
的夾角θ的最大值；
（2）如果
a
∥
b
，求實數k的值．
分析：（1）利用向量的模的平方等于向量的平方，利用向量的運算律表示出
a
•
b
；利用基本不等式求出數量積的取值范圍，
利用向量的數量積公式表示出夾角余弦，求出夾角范圍．
（2）根據向量共線的夾角是0°或180°，利用向量的數量積公式列出等式求出k值．
解答：解：（1）|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|?(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2
即∴k2
a
2+2k
a
•
b
+
b
2=3
a
2-6k
a
•
b
+3k2
b
2?
a
•
b
=
k2+1
4k
．
∵
a
•
b
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
2
，．
此時cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
a
•
b
≥
1
2
?θmax=60°．
（2）∵
a
∥
b
，∴
a
與
b
夾角為0°或180°
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ=±1?|
k2+1
4k
|=1
又∵k＞0，∴k2+1=4k?k=2±
3
．
點評：本題考查向量的模的平方等于向量的平方；向量的數量積公式表示向量的夾角；向量共線的充要條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
，滿足
a
=（1，2），
b
=（-2，1）．
（1）求向量
a
-
b
的坐標，以及向量
a
-
b
與
a
的夾角；
（2）若向量
a
-
b
與k
a
+
b
垂直，求實數k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•藍山縣模擬）已知向量
a
，
b
，滿足（
a
+2
b
）（
a
-
b
）=-6，且|
a
|=1，|
b
|=2，則
a
與
b
的夾角為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
，滿足|
a
|=|
b
|=2，
a
與
b
的夾角為120°，則|
a
-
b
|的值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
，滿足|
a
|=2，|
b
|=1，且(
a
+
b
)⊥(
a
-
5
2
b
)，則
a
與
b
的夾角為
 
．

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