Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-m|+|x-n|．
（1）若m=2，n=-5，解不等式f（x）＞9；
（2）若m=a，n=-$\frac{1}{a}$，其中a≠0，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)表達(dá)式|x-2|+|x-5|＞9．通過(guò)當(dāng)x＜-5時(shí)，當(dāng)-5≤x≤2時(shí)，當(dāng)x＞2時(shí)，轉(zhuǎn)化不等式為代數(shù)不等式求解即可．
（2）求出|x-a|+|x+$\frac{1}{a}$|的最小值，由a＞0，由a＜0，求出最值，然后推出函數(shù)f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由題意可知|x-2|+|x-5|＞9．當(dāng)x＜-5時(shí)，原式化為：2-x-x-5＞9，解得x＜-6，故x＜-6；
當(dāng)-5≤x≤2時(shí)，原式化為：2-x+x+5＞9，不等式無(wú)解；
當(dāng)x＞2時(shí)，原式化為：x-2+x+5＞9，解得x＞3，故x＞3；
綜上不等式的解集為：{x|x＜-6或x＞3}．
（2）因?yàn)閨x-a|+|x+$\frac{1}{a}$|=|a-x|+|x+$\frac{1}{a}$|≥|a+$\frac{1}{a}$|．由a＞0，
可知a+$\frac{1}{a}$$≥2\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，由a＜0，可知a+$\frac{1}{a}$=-（-a-$\frac{1}{a}$）≤-2，
∴$|a+\frac{1}{a}|$≥2，所以函數(shù)f（x）的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，絕對(duì)值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．