Question

17．（1）用定義證明函數：f（x）=1-x在（-∞，+∞）為減函數．
（2）已知函數：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x＜1）}\\{\frac{2}{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用定義證明即可．
（2）根據分段函數的定義域范圍和單調性求解，可得f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=1-x，其定義域為（-∞，+∞）
證明：設x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）=1-x₁--1+x₂
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
故得f（x）=1-x在（-∞，+∞）為減函數．
（2）函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x＜1）}\\{\frac{2}{x}（x＞2）}\end{array}\right.$，
當x＜1時，f（x）=x-1，根據一次函數的性質可知，f（x）在（-∞，1）為減函數，∴f（x）值域為（-∞，0）
當x＞2時，f（x）=$\frac{2}{x}$，根據反比例函數的性質可知，f（x）在（2，+∞）為減函數，∴f（x）值域為（0，1）
綜上可得函數f（x）的值域為（-∞，0）∪（0，1）．

點評 本題考察了單調性的定義證明和分段函數的值域的求法．比較基礎．