Question

7．已知函數f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$．
（1）求函數f（x）的對稱中心；
（2）求f（x）在[0，π]上的單調增區間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的圖象的對稱性求得函數f（x）的對稱中心．
（2）利用正弦函數的單調性，求得f（x）在[0，π]上的單調增區間．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1$，
令$2x-\frac{π}{6}=kπ$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，
故所求對稱中心為$（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，-1}），k∈Z$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函數的增區間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
再根據x∈[0，π]，可得增區間為[0，$\frac{π}{3}$]、[$\frac{5π}{6}$，π]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的圖象的對稱性、正弦函數的單調性，屬于基礎題．