Question

7．設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的導數為f'（x），f'（0）＞0，若?x∈R，恒有f（x）≥0，則$\frac{f（1）}{f'（0）}$的最小值是2．

Answer 1

分析 先根據題目的條件建立關于a、b、c的關系式，再結合基本不等式求出最小即可，注意等號成立的條件．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c
∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0
∵對任意實數x都有f（x）≥0
∴a＞0，c＞0，b²-4ac≤0即 $\frac{4ac}{{b}^{2}}$≥1
則 $\frac{f（1）}{f′（0）}$=$\frac{a+b+c}{b}$=1+$\frac{a+c}{b}$，
而（$\frac{a+c}{b}$）²=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}+2ac}{{b}^{2}}$≥$\frac{4ac}{{b}^{2}}$≥1，
∴$\frac{f（1）}{f′（0）}$=$\frac{a+b+c}{b}$=1+$\frac{a+c}{b}$≥2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查了導數的運算，以及函數的最值及其幾何意義和不等式的應用，屬于中檔題．