Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA₁，點M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點．
（1）證明：A₁M⊥平面MAC；
（2）證明：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析 （1）證明A₁M⊥MA，AM⊥AC，故可得A₁M⊥平面MAC；
（2）連結(jié)AB₁，AC₁，由中位線定理得出MN∥AC₁，故而MN∥平面A₁ACC₁．

解答 證明：（1）由題設知，∵A₁A⊥面ABC，AC?面ABC，∴AC⊥A₁A，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，
∵AA₁?平面AA₁BB₁，AB?平面AA₁BB₁，AA₁∩AB=A，
∴AC⊥平面AA₁BB₁，A₁M?平面AA₁BB₁
∴A₁M⊥AC．
又∵四邊形AA₁BB₁為正方形，M為A₁B的中點，∴A₁M⊥MA，
∵AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，∴A₁M⊥平面MAC…（6分）
（2）連接AB₁，AC₁，由題意知，點M，N分別為AB₁和B₁C₁的中點，∴MN∥AC₁．
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，∴MN∥平面A₁ACC₁．…（12分）

點評 本題考查了面面垂直，線面平行的判定，屬于中檔題．