Question

7．等腰直角三角形ABC的斜邊為$\sqrt{2}$，且AB⊥AC，E，F分別是AB，AC上的動點，AE=mAB（0≤m＜1），AF=nAC（0＜n＜1），m+n=1，設BF與CE交點為P，且記d為AP取到最值時的EF的長度，則AP•d的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $[\frac{{\sqrt{5}}}{6}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $[\frac{{\sqrt{6}}}{7}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$

Answer 1

分析 由題意AE=mAC（0≤m＜1），AF=nAC（0＜n＜1），m+n=1，利用極值法討論，當m=1，n=0以及n=1，m=0時，交點為B或C，此時AP＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$最大，求解EF=1，當m=n=$\frac{1}{2}$時，AP取得最小值，交點P為三角形的重心，求出即可得．

解答 解：由題意：等腰直角三角形ABC的斜邊為$\sqrt{2}$，且AB⊥AC，
∴AB=AC=1，
∵E，F分別是AB，AC上的動點，AE=mAB（0≤m＜1），AF=nAC（0＜n＜1），m+n=1，根據題意，當m=n=$\frac{1}{2}$時，AP取得最小值，此時E，F是各邊的中點，故得交點P為三角形的重心．
由重心公式可得AP=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，此時d=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AP•d的最小值為$\frac{1}{3}$．
當m=1，n=0以及n=1，m=0時，交點為B或C，此時AP＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$最大，此時d=EF=1，
∴AP•d的最大值小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故得AP•d的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故選A．

點評 本題考查了等腰直角三角形的邊角關系的應用問題，也考查了特殊值應用，極值法的運用．屬于中檔題．