Question

10．已知S_n是等差數列{a_n}的前n項和，且${S_n}=-2{n^2}+15n$，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）n為何值時，S_n取得最大值并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）根據二次函數的性質，即可求得S_n的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：${S_n}=-2{n^2}+15n$，當n=1時，a₁=S₁=-2+15=13，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-2n²+15n）-[-2（n-1）²+15（n-1）]=17-4n，
當n=1時，顯然成立，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=17-4n；
（2）S_n=-2n²+15n=-2（n²-$\frac{15}{2}$n+$\frac{225}{16}$-$\frac{225}{16}$），
=-2（n-$\frac{15}{4}$）²+$\frac{225}{8}$，
由n∈N*，則n=4時，S_n取得最大值28，
∴當n為4時，S_n取得最大值，最大值28．

點評 本題考查數列通項公式的求法，考查二次函數的性質，等差數列前n項和的最值的求法，考查計算能力，屬于中檔題．