Question

設f(x)=3ax²+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)＞0,求證:

(1)方程f(x)=0有實根;

(2)-2＜＜-1;

(3)設x₁,x₂是方程f(x)=0的兩個實根,則≤|x₁-x₂|＜.

Answer 1

證明：(1)若a=0,由a+b+c=0得b=-c.

∴f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c²≤0,與已知f(0)f(1)＞0矛盾.故a≠0.

因此要證f(x)=0有實根,只需證Δ=4(b²-3ac)≥0,

即證4［(-a-c)²-3ac］≥0.

只需證4(a²-ac+c²)=4(a)²+3c²≥0.

而4(a)²+3c²≥0顯然成立,

∴方程f(x)=0有實根.

(2)由f(0)f(1)＞0得c(3a+2b+c)＞0,

又∵a+b+c=0,∴(a+b)(2a+b)＜0.

又∵a²＞0,∴(1+)(2+)＜0.

故-2＜＜-1.

(3)要證≤|x₁-x₂|＜成立,

只需證≤(x₁-x₂)²＜成立,

只需證≤(x₁+x₂)²-4x₁x₂＜成立.

又∵x₁+x₂=,x₁x₂=,

∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(+)²+.

∵-2＜＜-1,

∴≤(x₁-x₂)²＜成立.

∴≤|x₁-x₂|＜.