Question

設f(x)=3ax²+2bx+c若a+b+c=0,f(0)＞0,f(1)＞0,求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1;

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內有兩個實根.

Answer 1

證明:(Ⅰ)由f(0)＞0,且f(1)＞0得：

c＞0且3a+2b+c＞0.∵c=-a-b＞0,

∴2a+b＞0,  (1)

-a-b＞0.       (2)

兩式相加，得：a＞0.

    由(1)得＞-2,由(2)得＜-1,

∴-2＜＜-1.

(Ⅱ)由于a＞0,∴f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

    又∵f(0)＞0.f(1)＞0拋物線的對稱軸滿足：0＜＜-＜＜1.

∴要證明f(x)=0在（0，1）內有兩個實根，只需證明：

Δ=4b²-12ac＞0,即可.

    把c=-a-b  代入上式，即證：b²+3ab+3a²＞0,

    即證（b+a）²+a²＞0,

    由于a＞0,∴a²＞0,而(b+a)²≥0,

∴(b+a)²+a²＞0成立.

    從而方程f(x)=0在（0，1）內有兩個實根.