Question

16．設命題p：實數(shù)滿足x²-4ax+3a²＜0，a≠0；命題q：實數(shù)滿足$\frac{x-3}{2-x}$≥0．
（1）若a=1，p∧q為真命題，求x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由x²-4ax+3a²＜0，a≠0得（x-a）（x-3a）＜0，
（1）若a=1，則p：1＜x＜3，
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤3}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
∴實數(shù)x的取值范圍（2，3）．
（2）由$\frac{x-3}{2-x}$≥0，得$\frac{x-3}{x-2}≤0$，解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
若￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，
則必有a＞0，此時p：a＜x＜3a，a＞0．
則有$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2．

點評 本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關鍵，