Question

已知三棱錐V-ABC中，VA=3，VB=4，VC=，點E為側棱VC上的一點，VA⊥BE，且頂點V在底面ABC上的射影為底面的垂心．如果球O是三棱錐V-ABC的外接球，則V，A兩點的球面距離是（ ）
A．2π
B．
C．π
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意，作VD⊥底面ABC，則D為底面的垂心，進一步證明VA，VB，VC兩兩垂直．以VA，VB，VC作長方體，則長方體的外接球是三棱錐V-ABC的外接球，其直徑為，求出球心角，即可求得V，A兩點的球面距離．
解答：解：由題意，作VD⊥底面ABC
∵頂點V在底面ABC上的射影為底面的垂心
∴D為底面的垂心
∴DA⊥BC，DB⊥AC，DC⊥AB
∴VA⊥BC，VC⊥AB
∵VA⊥BE，BC∩BE=B
∴VA⊥平面VBC
∴VA⊥VC
∵VC⊥AB，VA∩AB=A
∴VC⊥平面VAB
∴VC⊥VB
∴VA，VB，VC兩兩垂直
以VA，VB，VC作長方體，則長方體的外接球是三棱錐V-ABC的外接球，其直徑為
∴半徑為3
∵VA=3，
∴球心角為
∴V，A兩點的球面距離是=
故選B．
點評：本題考查三棱錐的外接球，考查球面距離，確定外接球的半徑是關鍵，屬于中檔題．