Question

（2012•張掖模擬）已知三棱錐V-ABC中，VA=3

2

，VB=4，VC=

2

，點E為側棱VC上的一點，VA⊥BE，且頂點V在底面ABC上的射影為底面的垂心．如果球O是三棱錐V-ABC的外接球，則V，A兩點的球面距離是（　�。�

• A．2π
• B．

  3π

  2

• C．π
• D．

  π

  2

Answer 1

分析：由題意，作VD⊥底面ABC，則D為底面的垂心，進一步證明VA，VB，VC兩兩垂直．以VA，VB，VC作長方體，則長方體的外接球是三棱錐V-ABC的外接球，其直徑為

18+16+2

=6，求出球心角，即可求得V，A兩點的球面距離．

解答：解：由題意，作VD⊥底面ABC
∵頂點V在底面ABC上的射影為底面的垂心
∴D為底面的垂心
∴DA⊥BC，DB⊥AC，DC⊥AB
∴VA⊥BC，VC⊥AB
∵VA⊥BE，BC∩BE=B
∴VA⊥平面VBC
∴VA⊥VC
∵VC⊥AB，VA∩AB=A
∴VC⊥平面VAB
∴VC⊥VB
∴VA，VB，VC兩兩垂直
以VA，VB，VC作長方體，則長方體的外接球是三棱錐V-ABC的外接球，其直徑為

18+16+2

=6
∴半徑為3
∵VA=3

2

，
∴球心角為

π

2

∴V，A兩點的球面距離是

π

2

×3=

3π

2

故選B．

點評：本題考查三棱錐的外接球，考查球面距離，確定外接球的半徑是關鍵，屬于中檔題．