Question

如圖，已知三棱錐V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°且BC=1，AC=2，VA=2．
（1）求證：BC⊥平面VAB．
（2）求VC與平面ABC所成的角．
（3）求二面角B-VA-C的平面角．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明VA⊥平面ABC，再利用線面垂直的判定，證明BC⊥平面VAB；
（2）先證明∠VCA為VC與平面ABC所成的角，再在Rt△VCA中，即可求解；
（3）先證明∠BAC為二面角B-VA-C的平面角，再在RtABC中，即可求解．
解答：解：（1）∵∠VAB=∠VAC=90°
∴VA⊥AB，VA⊥AC
∴VA⊥平面ABC
∵BC?平面ABC
∴VA⊥BC
又BC⊥AB，VA∩AB=A
∴BC⊥平面VAB．---（3分）
（2）∵VA⊥平面ABC
∴∠VCA為VC與平面ABC所成的角
Rt△VCA中，AC=2，VA=2．
∴∠VCA=45°-------（5分）
即VC與平面ABC所成的角為45°．
（3）∵VA⊥AB，VA⊥AC，
∴∠BAC為二面角B-VA-C的平面角．
由∠ABC=90°知△ABC為直角三角形，BC=1，AC=2
∴∠BAC=30°
∴二面角B-VA-C的平面角為30．---（8分）
點評：本題考查的重點是線面垂直，線面角及面面角，解題的關鍵是正確尋找相應的線面角及面面角．