Question

【題目】某企業為確定下一年投入某種產品的研發費用，需了解年研發費用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響，統計了近年投入的年研發費用與年銷售量的數據，得到散點圖如圖所示：

（Ⅰ）利用散點圖判斷，和（其中，為大于的常數）哪一個更適合作為年研發費用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；

（Ⅱ）對數據作出如下處理：令，，得到相關統計量的值如下表：

根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，求關于的回歸方程；

（Ⅲ）已知企業年利潤（單位：千萬元）與，的關系為（其中），根據（Ⅱ）的結果，要使得該企業下一年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發費用？

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由散點圖知，選擇回歸類型更適合；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）要使年利潤取最大值，預計下一年度投入27千萬元.

【解析】

（Ⅰ）根據散點圖的特點可知，相關關系更接近于冪函數類型；

（Ⅱ）根據所給數據，代入公式求得回歸直線的方程；

（Ⅲ）先求出年利潤的表達式，結合不等式特點利用導數可得最值.

（Ⅰ）由散點圖知，選擇回歸類型更適合．

（Ⅱ）對兩邊取對數，得，即

由表中數據得：，

∴，

∴，

∴年研發費用與年銷售量的回歸方程為.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，

∴，

令，得，

且當時，,單調遞增；

當時，,單調遞減．

所以當千萬元時，年利潤取得最大值，且最大值為千萬元.

答：要使年利潤取最大值，預計下一年度投入27千萬元.