【題目】如圖，四棱錐
中，底面
是矩形，面
底面
，且
是邊長為
的等邊三角形， 
在
上，且
面
.
（1）求證: 
是
的中點；
（2）在
上是否存在點
，使二面角
為直角？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1) 見解析;(2) 
.
【解析】試題分析：(1)連
交
于
可得
是
中點，再根據
面
可得
進而根據中位線定理可得結果；(2)取
中點
，由（1）知
兩兩垂直. 以
為原點， 
所在直線分別為
軸, 
軸， 
軸建立空間直角坐標系，求出面
的一個法向量
，用
表示面
的一個法向量
，由
可得結果.
試題解析：(1)證明：連
交
于
，連
是矩形， 
是
中點.又
面
，且
是面
與面
的交線， 
是
的中點.
(2)取
中點
，由（1）知
兩兩垂直. 以
為原點， 
所在直線分別為
軸，
軸， 
軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為
.
設存在
滿足要求，且
，則由
得： 
，面
的一個法向量為
，面
的一個法向量為
，由
，得
，解得
，故存在
，使二面角
為直角，此時
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知小張每次射擊命中十環的概率都為40%，現采用隨機模擬的方法估計小張三次射擊恰有兩次命中十環的概率，先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定2，4，6，8表示命中十環，0，1，3，5，7，9表示未命中十環，再以每三個隨機數為一組，代表三次射擊的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396
021 506 318 230 113 507 965
據此估計，小張三次射擊恰有兩次命中十環的概率為（）
A. 0.25B. 0.30C. 0.35D. 0.40
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢.根據該問題設計程序框圖如下，若輸入
，則輸出
的值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題中，其中錯誤的個數是（）
①經過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個大圓；
②經過球直徑的三等分點，作垂直于該直徑的兩個平面，則這兩個平面把球面分成三部分的面積相等；
③球的面積是它大圓面積的四倍；
④球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上，以這兩點為端點的劣弧的長．
A. 0B. 1C. 2D. 3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】時下，租車自駕游已經比較流行了．某租車點的收費標準為：不超過
天收費
元，超過天的部分每天收費
元（不足
天按天計算）．甲、乙兩人要到該租車點租車自駕到某景區游覽，他們不超過天還車的概率分別為
和
，天以上且不超過
天還車的概率分別為和，兩人租車都不會超過
天．
（1）求甲所付租車費比乙多的概率；
（2）設甲、乙兩人所付的租車費之和為隨機變量
,求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】f(x)的定義域為(0，＋∞)，且對一切x>0，y>0都有f
＝f(x)－f(y)，當x>1時，有f(x)>0。
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的單調性并證明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f
<2；
(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數f(x)＝2x－
.
(1)若f(x)＝
，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點曲線
的一個焦點， 
為坐標原點，點
為拋物線
上任意一點，過點
作
軸的平行線交拋物線的準線于
，直線
交拋物線于點
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）求證：直線
過定點
，并求出此定點的坐標.
【答案】（I）
；（II）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）將曲線
化為標準方程，可求得
的焦點坐標分別為
，可得
，所以
，即拋物線的方程為
；（Ⅱ）結合（Ⅰ），可設
，得
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
.
試題解析：（Ⅰ）由曲線
，化為標準方程可得
， 所以曲線
是焦點在
軸上的雙曲線，其中
，故
， 
的焦點坐標分別為
，因為拋物線的焦點坐標為
，由題意知
，所以
，即拋物線的方程為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線
的準線方程為
，設
，顯然
.故
，從而直線
的方程為
,聯立直線與拋物線方程得
，解得
①當
，即
時，直線
的方程為
，
②當
，即
時，直線
的方程為
，整理得
的方程為
，此時直線恒過定點
， 
也在直線
的方程為
上，故直線
的方程恒過定點
.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
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