Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線C關于軸對稱，頂點為坐標原點，且經過點．

（1）求拋物線C的標準方程；

（2） 過點的直線交拋物線于M、N兩點．是否存在定直線，使得l上任意點P與點M，Q，N所成直線的斜率，，成等差數列．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定直線，.

【解析】

（1）設拋物線為，代入點的坐標可得；

（2））假設存在直線使得直線上的任意點有成等差數列，設MN：交拋物線于、，代入拋物線方程應用韋達定理得，計算，，，并計算，代入并化簡，由為恒成立的，可求得．

（1）由條件設拋物線為，而點在拋物線上，

從而有，故拋物線方程為

（2）假設存在直線使得直線上的任意點有成等差數列，

由條件知直線MN的斜率不等于0，

設MN：交拋物線于、，

由可得：

從而有

，，

若成等差數列，則

即

化簡有

從而有，即

故存在定直線，

使得l上任意點P與點M，Q，N所成直線斜率成等差數列