【題目】已知函數
，
，
.
（1）當
時，討論函數的零點個數．
（2）
的最小值為
，求
的最小值．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）求函數
的導數，利用導數判斷函數的單調性和極值，從而得到零點的個數；
（2）
，求導得
，可以判斷
存在零點
，可以求出函數
的最小值為
，可以證明出：
，
，可證明
在
上有零點，
的最小值為
，結合
，可求的最小值為
.
（1）
的定義域為
，
.
①當
時，
，單調遞增，又
，
，
所以函數有唯一零點；
②當
時，
恒成立，所以函數無零點；
③當
時，令
，得
.
當
時，
，單調遞減；當
時，
，單調遞增.
所以
.
當時，
，所以函數無零點.
綜上所述，當
時函數無零點.當，函數有一個零點.
（2）由題意得，
，則
，令
，則
，
所以
在
上為增函數，即
在上為增函數.
又
，
，所以在上存在唯一零點，
且
，
，即
.
當
時，
，
在
上為減函數，當
時，
，
在
上為增函數，的最小值
.
因為
，所以
，所以.
由
得
，易知
在上為增函數.
因為
，所以
，
，所以在
上存在唯一零點
，且
，
，當
時，
，
在
上為減函數，當
時，
，在
上為增函數，所以的最小值為
，
因為
，所以
，所以
，
又
，所以
，
又函數
在上為增函數，所以
，
因為
，所以，即在上的最小值為0.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝|ax－2|，不等式f（x）≤4的解集為{x|－2≤x≤6}．
（1）求實數a的值；
（2）設g（x）＝f（x）＋f（x＋3），若存在x∈R，使g（x）－tx≤2成立，求實數t的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番．為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例．得到如下扇形統計圖：
建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例則下面結論中不正確的是（ ）
A.新農村建設后，種植收入略有增加．
B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上．
C.新農村建設后，養殖收入不變．
D.新農村建設后，種植收入在經濟收入中所占比重大幅下降．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】十八屆五中全會首次提出了綠色發展理念，將綠色發展作為“十三五”乃至更長時期經濟社會發展的一個重要理念．某地區踐行“綠水青山就是金山銀山”的綠色發展理念，2015年初至2019年初，該地區綠化面積y（單位：平方公里）的數據如下表：
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
綠化面積y | 2.8 | 3.5 | 4.3 | 4.7 | 5.2 |
（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，預測該地區2025年初的綠化面積．
（參考公式：線性回歸方程：
，
，
為數據平均數）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點P在拋物線
上，且點P的橫坐標為2，以P為圓心，
為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準線交于M，N兩點，且
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若拋物線的準線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為確定下一年投入某種產品的研發費用，需了解年研發費用
（單位：千萬元）對年銷售量
（單位：千萬件）的影響，統計了近
年投入的年研發費用
與年銷售量
的數據，得到散點圖如圖所示：
（Ⅰ）利用散點圖判斷，
和
（其中
，
為大于
的常數）哪一個更適合作為年研發費用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；
（Ⅱ）對數據作出如下處理：令
，
，得到相關統計量的值如下表：
根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，求關于的回歸方程；
（Ⅲ）已知企業年利潤
（單位：千萬元）與，的關系為
（其中
），根據（Ⅱ）的結果，要使得該企業下一年的年利潤最大，預計下一年應投入多少研發費用？
附：對于一組數據
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，已知點
，直線
，動直線
垂直
于點
，線段
的垂直平分線交于點
，設點的軌跡為
．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）以曲線上的點
為切點做曲線的切線
，設分別與
、
軸交于
兩點，且恰與以定點
為圓心的圓相切.當圓
的面積最小時，求
與
面積的比．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2016年1月6日北京時間上午11時30分，朝鮮中央電視臺宣布“成功進行了氫彈試驗”，再次震動世界，此事件也引起了我國公民熱議，其中丹東市（丹東市和朝鮮隔江）某QQ聊天群有300名網友，烏魯木齊市某微信群有200名網友，為了解不同地區我國公民對“氫彈試驗”事件的關注程度，現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名網友，先分別統計了他們在某時段發表的信息條數，再將兩地網友發表的信息條數分成5組：
，
，
，
，
，分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求丹東市網友的平均留言條數（保留整數）；
（2）為了進一步開展調查，從樣本中留言條數超過80條的網友中隨機抽取2人，求至少抽到一名烏魯木齊市網友的概率；
（3）規定“留言條數”不少于70條為“強烈關注”.
①請你根據已知條件完成下列2×2的列聯表：
強烈關注 | 非強烈關注 | 合計 | |
丹東市 | |||
烏魯木齊市 | |||
合計 |
②判斷是否有90%的把握認為“強烈關注”與網友所在的地區有關？
附：臨界值表及參考公式：
，
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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