Question

3．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E為棱CC₁上的動點．
（1）若E為棱CC₁的中點，求證：A₁E⊥平面BDE；
（2）試確定E點的位置使直線A₁C與平面BDE所成角的正弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁E⊥平面BDE．
（2）求出平面DBE的法向量，由直線A₁C與平面BDE所成角的正弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．利用向量法能確定E點的位置．

解答 證明：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設AA₁=2AB=2，E為棱CC₁的中點，
則A₁（1，0，2），E（0，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{DB}$=-1+1=0，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{DE}$=1-1=0，
∴A₁E⊥DB，A₁E⊥DE，
又DB∩DE=D，∴A₁E⊥平面BDE．
解：（2）C（0，1，0），設E（0，1，t），
則$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，t），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-2），
設平面DBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=a+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=b+tc=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{1}{t}$），
∵直線A₁C與平面BDE所成角的正弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2+\frac{2}{t}}{\sqrt{6}•\sqrt{2+\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得t=1或t=$\frac{1}{5}$（舍），
∴E是CC₁的中點或CE占CC₁的$\frac{1}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．