Question

已知⊙M：x²+y²-4x-8y+16=0，直線l：（1+λ）x+（1-λ）y-6=0（λ∈R）．
（Ⅰ）求證：對任意λ∈R，都有直線l與⊙M相交；
（Ⅱ）當λ=2時，求直線l被⊙M截得的弦長；
（Ⅲ）已知點N（3，1），在⊙M內（包括圓周）任取一點P，記事件K為“點P與點N（3，1）所確定的直線到點M的距離不大于1”，求事件K發生的概率．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,幾何概型

專題：綜合題,直線與圓,概率與統計

分析：（Ⅰ）直線l：（1+λ）x+（1-λ）y-6=0可化為（x+y-6）+λ（x-y）=0，可得

x+y-6=0 x-y=0

，即可得出結論；
（Ⅱ）當λ=2時，求出圓心M到直線l的距離，即可求直線l被⊙M截得的弦長；
（Ⅲ）求出S_弓形AB=S_弓形CD=

4π

3

-

1

2

×2×2sin

2π

3

=

4π

3

-

3

，S_{曲多邊形ABDC}=4π-2（

4π

3

-

3

）=

4π

3

+2

3

，由題意，P落在曲多邊形ABDC內（包括邊界）時滿足題意，即可求出事件K發生的概率．

解答： （Ⅰ）證明：直線l：（1+λ）x+（1-λ）y-6=0可化為（x+y-6）+λ（x-y）=0，
∴

x+y-6=0 x-y=0

，∴x=y=3，
（3，3）代入x²+y²-4x-8y+16=9+9-36-24+16=-46＜0
∴對任意λ∈R，都有直線l與⊙M相交；
（Ⅱ）解：⊙M：x²+y²-4x-8y+16=0，可化為（x-2）²+（y-4）²=4，圓心M（2，4），半徑為2
當λ=2時，直線l：3x-y-6=0，
圓心M到直線l的距離d=

|3×2-4-6|

9+1

=

2 10

5

，
∴直線l被⊙M截得的弦長為2

22-( 2 10 5 )2

=

4 15

5

；
（Ⅲ）解：點N（3，1）在⊙M外，設過點N且與圓心的距離為1的兩條直線NB和ND與⊙M分別交于A、B和C、D，

由于|MA|=|MB|=|MC|=|MD|=2，∴△MAB△MCD，∠AMB=∠CMD=

2π

3

，
∴S_弓形AB=S_弓形CD=

4π

3

-

1

2

×2×2sin

2π

3

=

4π

3

-

3

，
∴S_{曲多邊形ABDC}=4π-2（

4π

3

-

3

）=

4π

3

+2

3

，
由題意，P落在曲多邊形ABDC內（包括邊界）時滿足題意，事件K發生的概率為（

4π

3

+2

3

）÷4π=

4π+6 3

12π

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查幾何概型，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．