Question

2．設數列{a_n}，{b_n}分別為等差數列和等比數列．若a₁b₁=1，a₂b₂=1，則a₃b₃的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1]．

Answer 1

分析 分別設{a_n}公差為d，{b_n}公比為q，通過整體運算把a₃b₃轉化為q的函數得答案．

解答 解：設{a_n}公差為d，{b_n}公比為q，
由a₁b₁=1，a₂b₂=1，得a₂b₂=（a₁+d）（b₁q）=a₁b₁q+b₁dq=q+b₁dq=1，
∴b₁dq=1-q，
${a}_{3}{b}_{3}=（{a}_{1}+2d）（{b}_{1}{q}^{2}）$
=${a}_{1}{b}_{1}{q}^{2}+2d{b}_{1}{q}^{2}$=${q}^{2}+2d{b}_{1}{q}^{2}$
=${q}^{2}+2（d{b}_{1}q）•q={q}^{2}+2q（1-q）={q}^{2}+2q-2{q}^{2}$=-q²+2q=-（q-1）²+1≤1．
而q≠0，∴a₃b₃≠0，
∴a₃b₃∈（-∞，0）∪（0，1]．
故答案為：（-∞，0）∪（0，1]．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式，考查數學轉化思想方法，是中檔題．