Question

17．某學校在平面圖為矩形的操場ABCD內(nèi)進行體操表演，其中AB=40，BC=16，O為AB上一點，且BO=8，線段OC、OD、MN為表演隊列所在位置（M，N分別在線段OD、OC上），點P為領隊位置，且P到BC、CD的距離均為12，記OM=d，我們知道當△OMN面積最小時觀賞效果最好．
（1）當d為何值時，P為隊列MN的中點？
（2）怎樣安排M的位置才能使觀賞效果最好？求出此時d的值．

Answer 1

分析 （1）以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．求出OC：y=2x，$OD：y=-\frac{1}{2}x$，設M（-2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），然后求解即可．
（2）通過k_PM=k_PN，推出4m+12n=5mn，利用三角形的面積，以及基本不等式求解即可．

解答 解：（1）以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．則C（8，16），B（8，0），P（-4，4）．
∴OC：y=2x；∵OC⊥OD，可得$OD：y=-\frac{1}{2}x$，
設M（-2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），
∵P為MN的中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2m+n=-8\\ m+2n=8\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{24}{5}\\ n=\frac{8}{5}\end{array}\right.$，
此時$M（-\frac{48}{5}，\frac{24}{5}）$，$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$；…．（7分）（建系2分）
（2）∵k_PM=k_PN，∴$\frac{m-4}{-2m+4}=\frac{2n-4}{n+4}$，∴4m+12n=5mn，
∵OC⊥OD，∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OM•ON=\frac{5}{2}mn$
∵$4m+12n=5mn≥8\sqrt{3mn}$當且僅當$m=3n=\frac{24}{5}$時取等號，
∴$mn≥\frac{192}{25}$．∴${S_{△OMN}}=\frac{5}{2}mn≥\frac{96}{5}$，此時$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$．
答：（1）當$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$時，P為隊列MN的中點；
（2）當點M滿足$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$時，觀賞效果最好．…．（16分）（答1分）

點評 本題考查解析法求解實際問題，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．