Question

已知函數f（x）=x²+xsinx+cosx，設f′（x）表示f（x）的導函數．
（1）求f′（

π

2

）的值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（3）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數的運算

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，令x=

π

2

，即可得到；
（2）由題意可得f′（a）=0，f（a）=b，聯立解出即可；
（3）利用導數得出其單調性與極值即最值，得到值域即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=x²+xsinx+cosx，
則f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=2x+xcosx，
則f′（

π

2

）=2×

π

2

+

π

2

cos

π

2

=π；
（2）由于曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，
則f′（a）=0，即有2a+acosa=0，解得，a=0，
則切點為（0，1），則b=1，
即有a=0，b=1；
（3）由于f′（x）=x（2+cosx）．
于是當x＞0時，f′（x）＞0，故f（x）單調遞增．
當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
則當x=0時，f（x）取得最小值f（0）=1，
故當b＞1時，曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點．
故b的取值范圍是（1，+∞）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值及其幾何意義是解題的關鍵．