【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，點
為左焦點，過點作
軸的垂線交橢圓于
、
兩點，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）在圓
上是否存在一點
，使得在點處的切線
與橢圓相交于
、
兩點滿足
？若存在，求的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2) 在圓上不存在這樣的點
使其成立
【解析】
試題分析：（1）根據橢圓的離心率公式和通徑的表達式
，構造方程，得到橢圓方程；（2）將向量的位置關系，坐標化為
，得到兩個變量的等量關系，聯立直線和橢圓，將向量的位置關系，根據韋達定理，坐標化為，再根據直線和圓的位置關系得到
，聯立這兩個方程，二元化一元，得到方程無解，故不存在。
解析：
（1）
又
,
橢圓
的方程為：
（2）假設存在點，使得
.當
的斜率不存在時，:
或
與橢圓：相交于
，
兩點，
此時
或
當直線的斜率不存在時不滿足.
當直線的斜率存在時，設：
則
直線與橢圓相交于，兩點
，化簡得
設
，
，
又
與圓
相切，
，顯然不成立，在圓上不存在這樣的點使其成立.
習題精選系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市公園內的人工湖上有一個以點
為圓心的圓形噴泉，沿湖有一條小徑
，在的另一側建有控制臺
，
和
之間均有小徑連接(小徑均為直路)，且
，噴泉中心點距離
點60米，且
連線恰與平行，在小徑上有一拍照點
，現測得
米， 
米，且
.
(I)請計算小徑的長度；
(Ⅱ)現打算改建控制臺的位置，其離噴泉盡可能近，在點
的位置及
大小均不變的前提下，請計算
距離的最小值；
(Ⅲ)一人從小徑一端
處向處勻速前進時，噴泉恰好同時開啟，噴泉開啟
分鐘后的水幕是一個以為圓心，半徑
米的圓形區域(含邊界)，此人的行進速度是
米/分鐘，在這個人行進的過程中他會被水幕沾染，試求實數
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，點
，點
在
軸上，點
在
軸非負半軸上，點
滿足：
（1）當點在軸上移動時，求動點的軌跡C的方程；
（2）設
為曲線C上一點，直線
過點且與曲線C在點處的切線垂直，與C的另一個交點為
，若以線段
為直徑的圓經過原點，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x﹣y+4＝0和圓O：x2+y2＝4，P是直線l上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為M，N．
（1）若PM⊥PN，求點P坐標；
（2）若圓O上存在點A，B，使得∠APB＝60°，求點P的橫坐標的取值范圍；
（3）設線段MN的中點為Q，l與x軸的交點為T，求線段TQ長的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行調查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照
分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求直方圖的
的值；
（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由.
（3）估計居民月用水量的中位數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，
，點
、
分別在線段
、
上，且
，其中
，連接
，延長與
的延長線交于點
，連接
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）若
時，求二面角
的正弦值；
（Ⅲ）若直線
與平面
所成角的正弦值為
時，求
值．
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