【題目】某市公園內的人工湖上有一個以點
為圓心的圓形噴泉，沿湖有一條小徑
，在的另一側建有控制臺
，
和
之間均有小徑連接(小徑均為直路)，且
，噴泉中心點距離
點60米，且
連線恰與平行，在小徑上有一拍照點
，現測得
米， 
米，且
.
(I)請計算小徑的長度；
(Ⅱ)現打算改建控制臺的位置，其離噴泉盡可能近，在點
的位置及
大小均不變的前提下，請計算
距離的最小值；
(Ⅲ)一人從小徑一端
處向處勻速前進時，噴泉恰好同時開啟，噴泉開啟
分鐘后的水幕是一個以為圓心，半徑
米的圓形區域(含邊界)，此人的行進速度是
米/分鐘，在這個人行進的過程中他會被水幕沾染，試求實數
的最小值.
【答案】(Ⅰ)
千米；(Ⅱ)
；(Ⅲ)4.
【解析】
分析：(I) 以
為坐標原點， 
所在直線為
軸，過且垂直于的直線為
軸，建立平面直角坐標系，由題意可知
，
，則AB所在直線即可表示，即可求出A點坐標，從而得出答案；
(Ⅱ)
三點共圓，可求圓的方程為
，
，則
距離最小值為圓心與C之間的距離減去半徑；
(Ⅲ) 因為
在
的正西方向，且
千米，所以. 假設在
時刻人所在的位置為
，所以
，則可表示
，又在時， 
，欲使這個人行進的過程中會被水幕沾染，則存在
，使得
，化簡即可得出答案.
解析：(I)以為坐標原點， 所在直線為軸，過且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，由
千米， 
，可知，直線
的方程為
，.所以直線
的方程為
，令
，得
，所以，千米；
(Ⅱ) 三點共圓，可求圓的方程為，，則距離最小值為
(此時點為直線
與點
及坐標原點之間劣弧的交點)；
(Ⅲ)因為在的正西方向，且千米，所以.人從行駛到所需要的時間為
(分鐘)，假設在時刻人所在的位置為，則
千米，所以，則
.
又在時， ，欲使這個人行進的過程中會被水幕沾染，則存在，使得，即
成立，所以存在，使得
成立，
當時， 
，當且僅當
，即
時取等號.所以
，即實數
的最小值為4.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液．現將此容器傾斜一定角度
（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．
（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角的最大值是多少？
（2）現需要倒出不少于
的溶液，當
時，能實現要求嗎？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正四面體A—BCD中，棱長為4，M是BC的中點，
點P在線段AM上運動（P不與A、M重合），過
點P作直線l⊥平面ABC，l與平面BCD交于點Q，
給出下列命題：
①BC⊥平面AMD ②Q點一定在直線DM上
③
其中正確的是（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【題目】已知數列
是公差為正數的等差數列，其前
項和為
，
且
，
(1)求數列的通項公式．
(2)設數列
滿足
，
①求數列的通項公式；
②是否存在正整數
，使得
，
，
成等差數列？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，點
為左焦點，過點作
軸的垂線交橢圓于
、
兩點，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）在圓
上是否存在一點
，使得在點處的切線
與橢圓相交于
、
兩點滿足
？若存在，求的方程；若不存在，請說明理由.
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