Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x﹣y+4＝0和圓O：x2+y2＝4，P是直線l上一點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為M，N．

（1）若PM⊥PN，求點P坐標；

（2）若圓O上存在點A，B，使得∠APB＝60°，求點P的橫坐標的取值范圍；

（3）設線段MN的中點為Q，l與x軸的交點為T，求線段TQ長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）P（﹣2，2）；（2）[﹣4，0]；（3）3

【解析】

（1）由PM⊥PN，則四邊形PMON為正方形，可得到圓心距離，由此可求得點坐標；

（2）設P（x，x+4），過P作圓的切線PC，PD，若圓O上存在點A，B，使得∠APB＝60°，則∠CPD≥600，把它用坐標表示后可得范圍；

（3）設P（x0，x0+4），得以OP為直徑的圓的方程與x2+y2＝4聯立（相減）可得MN所在直線方程，由直線方程與x2+y2＝4聯立消元后用韋達定理可求得點的橫坐標，再得縱坐標，消去參數后得點軌跡方程，軌跡是圓（去掉原點），求出點坐標后，由點與圓的位置關系可得最大值．

（1）若PM⊥PN，則四邊形PMON為正方形，則P到圓心的距離為，∵P在直線x﹣y+4＝0上，設P（x，x+4）

故|OP|，解得x＝﹣2，故P（﹣2，2）；

（2）設P（x，x+4），若圓O上存在點A，B，使得∠APB＝60°，過P作圓的切線PC，PD，∴∠CPD≥600，∴∠CPO≥300，

在直角三角形△CPO中，∵300≤∠CPO＜900，

∴sin∠CPO＜1，即1，∴2OP≤4，

∴24，解得﹣4≤x≤0，∴點P的橫坐標的取值范圍為：[﹣4，0]；

（3）設P（x0，x0+4），則以OP為直徑的圓的方程為，

化簡得，與x2+y2＝4聯立，可得MN所在直線方程：x0x+（x0+4）y＝4，

聯立，得，

，∴，所以，

∴Q的坐標為（，），

由，得，，代入化簡可得Q點的軌跡方程為：，圓心C（，），半徑R．

其中原點（0，0）為極限點（也可以去掉）．由題可知T（﹣4，0），

∴|TC|．∴|TQ|≤|TC|+R＝3．∴線段TQ長的最大值為3．