Question

17．已知等比數列{a_n}滿足，a₂=3，a₅=81．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₃a_n，求{b_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{n-1}$=n-1，利用分組求和法能求出{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵等比數列{a_n}滿足，a₂=3，a₅=81，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=3}\\{{a}_{1}{q}^{4}=81}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=3，
∴數列{a_n}的通項公式${a}_{n}={3}^{n-1}$．
（2）∵b_n=log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{n-1}$=n-1，
∴{b_n}的前n項和：
S_n=（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{n（n+1）}{2}-n$
=$\frac{n（n-1）}{2}$．

點評 本題考查等比數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．