Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：S_n=n-a_n，
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數列{a_n-1}是等比數列，并求{a_n}通項公式；
（3）令b_n=（2-n）（a_n-1），（n=1，2，3…），如果對任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t2，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的應用

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知中S_n=n-a_n，將n=1，2，3分別代入，可得a₁，a₂，a₃的值；
（2）由已知可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n①，a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1②，②-①可得2a_n+1-a_n=1，即：an+1-1=

1

2

(an-1)，進而可得數列{a_n-1}是等比數列，結合a1-1=-

1

2

，可得{a_n}通項公式；
（3）由（2）可得an=1-(

1

2

)n，bn=

n-2

2n

，進而求出b_n的最大值，結合二次函數的圖象和性質，可得實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵S_n=n-a_n，
∴S₁=1-a₁，
∴a₁=

1

2

，
同理S₂=2-a₂，
∴a₂=

3

4

，
S₃=2-a₃，
∴a₃=

7

8

，
∴a1=

1

2

，a2=

3

4

，a3=

7

8

，…（3分）
證明：（2）由已知可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1②…（5分）
②-①可得2a_n+1-a_n=1…（6分）
即：an+1-1=

1

2

(an-1)，又a1-1=-

1

2

…（8分）
所以數列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數列．
即an=1-(

1

2

)n…（10分）
解：（3）由（2）可得an=1-(

1

2

)n，bn=

n-2

2n

由bn+1-bn=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

n-1-2(n-2)

2n+1

=

3-n

2n+1

＞0，
可得n＜3，
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3，
所以 b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，故b_n有最大值b3=b4=

1

8

，
所以，對任意n∈N^*，有bn≤

1

8

…（13分）
如果對任意n∈N^*，都有bn+

1

4

t≤t2，即bn≤t2-

1

4

t成立，
則(bn)max≤t2-

1

4

t，
故有：

1

8

≤t2-

1

4

t，
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

．
所以實數t的取值范圍是(-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞)．…（16分）

點評：本題考查的知識點是數列，及數列的應用，（1）、（2）兩問目標明確、思路清楚，第（3）問應是采用分離參數的方法解決恒成立問題，具體來說，就是解不等式(bn)max≤t2-

1

4

t．