Question

10．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4，（-1≤x＜0）}\\{sinπx，（x＞0）}\end{array}\right.$且f（x）-ax≥-1對于定域內的任意的x恒成立，則a的取值范圍是-6≤a≤0．

Answer 1

分析 利用轉化法不等式化為f（x）+1≥ax，再分類討論分段函數對應的解析式，從而求出實數a的取值范圍．

解答 解：由f（x）-ax≥-1得f（x）+1≥ax，
當x＞0時，不等式等價為sinπx+1≥ax，
∵當x＞0時，sinπx+1≥0，
而y=ax過原點，∴此時則a≤0，
當-1≤x＜0時，不等式的等價為x²+5≥ax，
即$\frac{{x}^{2}+5}{x}$≤a，
即x+$\frac{5}{x}$≤a恒成立，
設g（x）=x+$\frac{5}{x}$，則g′（x）=1-$\frac{5}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-5}{{x}^{2}}$，
當-1≤x＜0時，g′（x）＜0，即函數g（x）為減函數，
則g（x）≤g（-1）=-1-5=-6，
即a≥-6；
綜上，a的取值范圍是-6≤a≤0．
故答案為：-6≤a≤0．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法結合分類討論轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵．