Question

20．已知數列{a_n}的各項均不為0，其前n項和為S_n，且滿足a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（1）求a₂的值；
（2）求證{a_2n}是等差數列；
（3）若a=-9，求數列{a_n}的通項公式a_n，并求S_n．

Answer 1

分析 （1）在2S_n=a_na_n+1式中將n=1代入即可求出a₂的值；
（2）由2S_n=a_na_n+1，可得n≥2時，2S_n-1=a_n-1a_n，兩式相減可得遞推關系式2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），因為a_n≠0，所以a_n+1-a_n-1=2，可證數列{a_2k}為等差數列；
（3）由（2）{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數列，分n為奇數與偶數分別求通項公式與和即可．

解答 （1）解：∵2S_n=a_na_n+1，∴n=1時，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∵a₁=a≠0，∴a₂=2．
（2）證明：∵2S_n=a_na_n+1，∴n≥2時，2S_n-1=a_n-1a_n，∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_na_n+1-a_n-1a_n，∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，∴a_2n+2-a_2n=2．∴{a_2n}是等差數列，首項為2，公差為2．
（3）解：由（2）可得：{a_2n-1}，{a_2n}都是公差為2的等差數列，
當n=2k（k∈N^*）時，a_n=2+2（k-1）=2k=n；
當n=2k-1時，a_n=a₁+2（k-1）=-9+2k-2=2k-11=n-10．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n-10，n為奇數}\\{n，n為偶數}\end{array}\right.$，
${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n-10）（n+1），n為奇數}\\{\frac{1}{2}n（n-9），n為偶數}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．