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20.已知數列{an}的各項均不為0,其前n項和為Sn,且滿足a1=a,2Sn=anan+1
(1)求a2的值;
(2)求證{a2n}是等差數列;
(3)若a=-9,求數列{an}的通項公式an,并求Sn

分析 (1)在2Sn=anan+1式中將n=1代入即可求出a2的值;
(2)由2Sn=anan+1,可得n≥2時,2Sn-1=an-1an,兩式相減可得遞推關系式2an=an(an+1-an-1),因為an≠0,所以an+1-an-1=2,可證數列{a2k}為等差數列;
(3)由(2){a2k-1},{a2k}都是公差為2的等差數列,分n為奇數與偶數分別求通項公式與和即可.

解答 (1)解:∵2Sn=anan+1,∴n=1時,2S1=a1a2,即2a1=a1a2,∵a1=a≠0,∴a2=2.
(2)證明:∵2Sn=anan+1,∴n≥2時,2Sn-1=an-1an,∴2an=2Sn-2Sn-1=anan+1-an-1an,∵an≠0,
∴an+1-an-1=2,∴a2n+2-a2n=2.∴{a2n}是等差數列,首項為2,公差為2.
(3)解:由(2)可得:{a2n-1},{a2n}都是公差為2的等差數列,
當n=2k(k∈N*)時,an=2+2(k-1)=2k=n;
當n=2k-1時,an=a1+2(k-1)=-9+2k-2=2k-11=n-10.
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{n-10,n為奇數}\\{n,n為偶數}\end{array}\right.$,
${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}(n-10)(n+1),n為奇數}\\{\frac{1}{2}n(n-9),n為偶數}\end{array}}\right.$.

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式與求和公式,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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