Question

16．已知函數f（x）=$\frac{ax+1}{e^x}$，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線斜率為-2，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（0，1）上無極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數的導函數令x的值為0代入其中得到f'（0）=-2即切線方程的斜率為-2，即可求出a的值，再利用導數和函數的最值的關系即可求出最小值，
（Ⅱ）求出函數的導函數，f（x）在區間（0，1）上無極值，則函數f（x）在（0，1）單調，分類討論，求出函數的單調性即可求出a的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）因為$f（x）=\frac{ax+1}{e^x}$，所以$f'（x）=\frac{-ax+a-1}{e^x}$．
依題意，f′（0）=-2，解得a=-1．
所以$f（x）=\frac{-x+1}{e^x}$，$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$．
當x＞2時，f'（x）＞0，函數f（x）為增函數；
當x＜2時，f'（x）＜0，函數f（x）為減函數；
所以函數f（x）的最小值是$f（2）=-\frac{1}{e^2}$．
（Ⅱ）因為$f（x）=\frac{ax+1}{e^x}$，所以$f'（x）=\frac{-ax+a-1}{e^x}$．
（1）若a=0，則$f'（x）=-\frac{1}{e^x}＜0$．此時f（x）在（0，1）上單調遞減，滿足條件．
（2）若a≠0，令f'（x）=0得$x=\frac{a-1}{a}=1-\frac{1}{a}$．
（ⅰ）若$1-\frac{1}{a}≤0$，即0＜a≤1，則f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．
此時f（x）在（0，1）上單調遞減，滿足條件．
（ⅱ）若$0＜1-\frac{1}{a}＜1$，即a＞1時，由f'（x）＞0得$0＜x＜1-\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0得$1-\frac{1}{a}＜x＜1$．
此時f（x）在$（0，1-\frac{1}{a}）$上為增函數，在$（1-\frac{1}{a}，1）$上為減，不滿足條件．
（ⅲ）若$1-\frac{1}{a}≥1$即a＜0．則f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．
此時f（x）在（0，1）上單調遞減，滿足條件．
綜上，a≤1．

點評 考查學生利用導數求函數在閉區間上的最值的能力，以及導數和函數的單調性的關系，考查了分類討論的能力，屬于中檔題