Question

2．已知函數函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$．
（1）求函數f（x）的值域
（2）求函數的單調遞減區間．

Answer 1

分析 （1）根據題意f（x）是復合函數，將其分解成基本函數，利用復合函數的單調性求值域．
（2）根據復合函數的單調性“同增異減”可得答案．

解答 解：（1）根據題意：函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$是復合函數，
令-x²-4x+2=t，則函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$轉化為g（t）=$（\frac{1}{3}）^{t}$，可知函數g（t）在其定義域內是減函數．
根據二次函數的性質可知：
函數t：開口向下，對稱軸x=-2，
當x=-2時，函數t取得最大值為6．
故得t∈（-∞，6]．
那么函數g（t）=$（\frac{1}{3}）^{t}$的最小值為g（6）_max=$\frac{1}{{3}^{6}}$，即函數f（x）的最小值為$\frac{1}{{3}^{6}}$．
故得函數f（x）的值域為[$\frac{1}{{3}^{6}}$，+∞）．
（2）由（1）可知：函數t在x∈（-∞，-2）上是單調遞增，在x∈（-2，+∞）上單調遞減．
根據復合函數的單調性“同增異減”可得：
∴函數f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{-{x}^{2}-4x+2}$的單調遞減區間為（-∞，-2）．

點評 本題考查了復合函的值域和單調性的求法．屬于基礎題．